IV.6. Calcul des armatures

Géométrie de la poutre :

La base de la poutre :
La hauteur totale :
La hauteur utile :
La largeur de la table de compression :

Caractéristique des matériaux :

fe=400 Mpa ⇒σst=feγs=4001,15=347,8≅348MPa=348000KNm2

Armatures longitudinales

Poutres transversales sous terrasse

Armatures inférieures : Mu=12,99KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=12,991,2×0,28²×11333=0,012<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,012=0,015

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,015=0,278m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=12,990,278×348000=1,34cm²

On a : Ast=4HA8 totalisant 2,01 cm²

Armatures supérieures : Mu=24KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=241,2×0,28²×11333=0,023<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,023=0,029

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,029=0,277m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=240,277×348000=2,49cm²

On a : Ast=4HA10 totalisant 3,14 cm²

Poutres transversales sous le plancher d’habitation

Armatures inférieures : Mu=24,51KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=24,511,2×0,28²×11333=0,023<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,023=0,029

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,029=0,277m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=24,510,277×348000=2,54m²

On a : Ast=4HA14 totalisant 3,14 cm²

Armatures supérieures : Mu=53,20KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=53,201,2×0,28²×11333=0,049<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,0491=0,063

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,167=0,273m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=53,200,273×348000=5,59cm²

On a : Ast=7HA10 totalisant 5,60 cm²

Poutres transversales sous le plancher des bureaux

Armatures inférieures : Mu=26,31KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=26,311,2×0,28²×11333=0,025<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,025=0,032

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,032=0,276m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=26,310,276×348000=2,74cm²

On a : Ast=4HA10 totalisant 3,14 cm²

Armatures supérieures : Mu=60,13KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=60,131,2×0,28²×11333=0,056<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,56=0,072

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,072=0,272m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=60,130,272×348000=6,35cm²

On a : Ast=6HA12 totalisant 6,79 cm²

Poutres transversales sous le plancher de balcon et salle de fête

Armatures inférieures : Mu=39,36KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=39,361,2×0,28²×11333=0,037<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,037=0,047

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,119=0,275m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=39,360,275×348000=4,11cm²

On a : Ast=4HA12 totalisant 4,52 cm²

Armatures supérieures : Mu=88,89KNm

Moment réduit : μu=Mud².fbu=88,891,2×0,28²×11333=0,083<0, 186 alors pivot A
Calcul du paramètre de déformation :

α=1,25 1-1-2μu→α=1,25 1-1-2×0,083=0,108

Calcul du bras de levier :

z=1-0,4αd=0,28 1-0,4×0,108=0,268m

Calcul de la section d’armatures :

Ast=MuZ.σst=88,890,268×348000=9,53cm²

On a : Ast=9HA12 totalisant 10,18 cm²

Armatures transversales

Détermination de la contrainte tangentielle limite ultime τlim

Avec les armatures transversales droites(α=π2 ) et la fissuration peu préjudiciable, on a :

τlim= Min (0,2fcjγb ; 5 MPa)

τlim=min0,20fc28γb;5 MPa âŸ¹ τlim=min2,666 MPa;5 MPa=2,666 MPa

D’où τlim=2,666 MPa=2666KNm2

Détermination de la contrainte tangentielle conventionnelle : τu=Vub0×d, avec

b0=0,2m , Épaisseur minimale de l’âme ;
d=0,28 cm, hauteur utile ;
Tu=98,6 KN, effort tranchant ultime à prendre en compte à L’L.U.

τu=Tubo.d=98,60,20×0,28=1760,71 KNm2

On constate que : τu<τlim. D’où une necessité d’armatures d’ame droites.

Détermination de la section d’armatures :

Pour le diamètre des armatures transversales, on a :

Φt≤min∅l,h35,bo10âŸ¹Φt≤min12 mm;30035;20010âŸ¹Φt≤min12 ;8,57;20âŸ¹Φt≤8,57mm.

On fixe ∅t=8 mm.

Aussi les armatures d’âme et les espacements sont tirés de l’équation : Atb0×st×feγs≥ζu-0,3kftj0,9(sinα+cosα)

Avec : ftj: bornée supérieurement à 2,666 MPa.

k est un coefficient qui prendra les valeurs ci-dessous suivant le cas :

k=0 : Reprise de bétonnage non traitée, fissuration très préjudiciable
k= 1 : en flexion simple.

Avec α : angle d’inclinaison des cadres pour nous α=0 .

k=1 (pas de réprise de bétonnage et flexion simple) .

ftj=0,6+0,06fcj=0,6+0,06.20=1,65 MPa ≤2,666MPa. OK .

AtSt≥201,033-0,3×1,650,9×4001,15 âŸº AtSt ≥0,0533 cm2cm.

Pourcentage minimal d’aciers :

Atb0×st×fe≥0,4 MPa âŸ¹ AtSt≥0,4×20400 âŸ¹ Atst≥0,02 cm2cm .

Vérification : 0,0533 cm2cm> 0,02 cm2cm OK.

Ainsi suivant les nombre de barres longitudinales, nous choisissons les cadres à 2 brins.

La section At=4×0,5=2 cm2 or, At St≥0,0533cm2cmâŸ¹Stâ©½20,0533= 37,52 cm.

Ainsi, nous fixons l’espacement des cadres à St=20 cm.

Espacement maximal :

St≤min(0,9×d;40 cm;15Φmin’si As’≠0) or As’=0 âŸ¹St≤min25,2cm ;40 cm .

C’est ainsi que St=20 cm≤min25,2cm ;40 cm OK.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

IV.7. DIMENSIONNEMENT DES POTEAUX

Le poteau est un élément de la structure travaillant en compression excentrée dont ses dimensions transversales sont petites que sa longueur. Le poteau consiste à transmettre toutes charges qu’il reçoit des poutres vers la fondation. Il peut s’avérer que lors de l’exploitation, il existe toujours des facteurs accidentels qui peuvent entrainer un déplacement du point d’application des forces considérées. Nous savons que la section transversale d’un poteau dépend de la contrainte du béton en compression.

Descentes des charges

Nous nous proposons d’effectuer la descente des charges sur le fil des poteaux les plus sollicités. Comme nous le savons bien que cette opération consiste à évaluer la charge qui va solliciter le poteau puis trouver la section de ce dernier et cela se fait par niveau. Mais pour le cas échéant, nous allons procéder par un groupement u une accumulation des charges de 3 niveaux qui ce dernier nous permettra d’avoir la section ensuite générer cette dernière au différent niveau précédant ce poteau en étude dans l’intention de faciliter la mise en œuvre.

D’où, nous n’aurons que deux sections transversale pour les 6 niveaux de notre bâtiment, c’est-à-dire les poteaux du 1^er au 3^ème niveaux avant la même section transversale et les 3 derniers auront la leur.

Evaluation des charges

Commençons prioritairement avec les 3 dernier niveaux, c’est-à-dire du 4^ème au 6^ème niveaux

Charge de la retombe sur le poteau et celle de la dalle.

Pu1= 4+5x 0,20 x 0,15x 25+4 x 5 x 0,15 x 25=81, 75KN

Combinaison de charge

Nu=81,75 x 1,35+1 x 1,5=111,86 KN

Pu2=81,75

Nu1=81,75 x 1,35+1,5 x 1,5=112,61 KN

Pu3=81,75

Combinaison de charge

81,75 x 1,35+2x1,5=113,36KN

Nu=111,86+112,61+113,36 KN=337, 83 KN

Pré dimensionnement et dimensionnement des poteaux

Calcul de Lf, a et b

Nu=337,83 KN

Ici, nous allons dimensionner e poteau avec les formules suivantes.

Lf=0,7 lo le cas plus défavorable â„·= Lfimin

imin= IS I= b.a312 et S=a.b

imin= b.a312a.b=a 36

Alors, Lf=210cm et â„·= 35

â„·= Lfa36= Lf=210 cm et â„·= 35

=>35= 210a36= a=20,78 cm ≈20 cm

Donc, pour ces 3 derniers niveaux nous avons une section de 20 x 30

Données disponibles

Section 20 x 30
Nu=337,83 KN
Mu= +31,80 KNm

Calcul de l’excentricité (e)

Excentricité due aux charges extérieures e1= e0+ea
Excentricité accidentelle ea=max2cm, L250=max2cm=0,02m

D’où e1=0,02+0,094=0,114

Excentricité du second ordre

e2= 3 Lf104b x 2+∝∅= 3 x 2,1104.0,3 x 2=0,0042

Avec ∝∅ infiniment petit que nous considérons à 0

etotal= e1+e2=0,114+0,0042=0,1182

D’où et=0,1182m=11,8cm

Calcul du coefficient de remplissage Ψ1 et comparaison de Ψ1 à 0,81

Ψ1= NuNbmax= 337,830,2 x 0,3 x 11333=0,49 <0,81

Avec Nbmax a.b.fbu=679,98KN l’effort de compression centré maximal supportable par le béton.

Comme Ψ1≤0,81 x sera calculé alors de cette façon

eNC= εxb

Excentricité critique relative

Ψ1≥23: ε= 3Ψ1-11-Ψ14 Ψ1 0,1212

eNC= εxh=0,1242 x 0,3=0,03726m=> eNC= 3,726 cm

D’où e >eNC la section est partiellement comprimée

Dimensionnement de la section partiellement comprimée

Calcul du moment de flexion fictif

Il nous a été utile de commencer en premier lieu le calcul de moment de flexion fictif (Mufictif)

Mufictif)= Mu+ Nu d-b2= Nue+d-h2

= 337,83 (0,118,2+0,28- 0,32=83,849KNm

Calcul de moment réduit

uu=Mufictifbd2fbre= 83,8490,20 x 0,282 x 11333=0,472 >0,186 (pivot)

ulim=0,39 pour les aciers FeE400

uu> ulim. b.d2fbu=0,39 x 0,282x 11333=69,30 KNm

Mufictif >Mrub= La section nécessite les aciers comprimés en plus des aciers tendus.

Calcul du bras de levier

Mres= Mufictif- Mrub=83,849KNm-69,30KNm=14,549KNm

Calcul du bras de levier

Z=d(1-0,4 ∝1)

Or ∝1= εbcεbc+εst avec εbc=0,35% et εst= εlim= feγs. x Es

εst= 4001,15 x 2000000=1,74%

∝1= 3,53,5+1,74=0,67

=>Z=0,28 1-0,4 x 0,67=0,205m

Calcul de la section d’acier tendus

As fictif = MubZ.σst+ Mres(d-d’)σst Avec d’ = h-d = 0,3 – 0,28 =

d= 0,02

Asfictif= 69,300,205 x 348000+ 14,5490,28-0,02x 348000=9,71+1,61

Asfictif=11,32cm²

La section réelle d’aciers tendus vaut Ast= Asfictif

As=1,132 x 10-3- 377,83348000=0;46cm²

La valeur de la section Ast étant inférieur à 1 cm², nous pondérons alors comme sectionAs , la section minimale imposée par la règle du millième et par la règle de non fragilité :

Ast ≥maxbh1000;0,23 b.d ft28fe=> Ast ≥max20 x301000

0,23 x 20 x 28 1,8400 ≥1cm²

Nous adoptons 2,26cm² soit 2 ∅ 12

Calcul de la section d’acier comprimé

Asc= Mres(d-d’)σsc= 14,5490,28-0,02x 348000=1,61cm²

Section étant inférieure à 4cm² par mètre linéaire des parements, nous allons alors calculer la section minimale d’acier comprimés.

Ascmin=max0,213100,411 (cm2)m

Avec B : la section du béton seul = 20 x 30 = 600 cm²

U= périmètre de la section droite (0,2 +0,30) x 2=1m

Ascmin=max0,2 x 600100; 4 x 1 (cm2)m=max1,2 cm²;4cm²

Ascmin=4cm² soit une section réelle de 4,52 donc 4 ∅ 12

Cherchons à dimensionner les 3 premiers niveaux c’est-à-dire le 1^er au 3^ème niveau de notre édifice.

Données disponibles

Mu=39,59 KNm

N= 577,08 KN

Calcul de Lf a et b

Lf=0,7 lo le cas le plus défavorable â„·= Lfimin

imin= IS I= b.a312 et S=a.b

imin= b.a312a.b=a 36

Alors, Lf=280cm et â„·= 35

â„·= Lfa36= Lf=210 cm et â„·= 35

â„·= Lfa36=>35= 280a36=>a=27,71 cm ≈30

Donc pour ces 3 premiers niveaux nous considérons une section de 30 x 40

Calcul de l’excentricité (e)

Excentricité du premier ordre e1= e0+ea

Excentricité due aux charges extérieures e1= MuNu=0,068m
Excentricité accidentelle ea=max2cm, L250=max2cm=0,02m

D’où e1=0,02+0,068=0,088

Excentricité du second ordre

e2= 3 Lf104b x 2+∝∅

3 x 2,1104.0,3 x 2=5,6 x 103=0,0056m

Avec ∝∅ infiniment petit que nous considérons à 0

etotal= e1+e2=0,088+0,0056=0,0936m

D’où et=0,0936m=9,36cm

Calcul du coefficient de remplissage Ψ1 et comparaison de Ψ1 à 0,81

Ψ1= NuNbmax= 577,080,3 x 0,4 x 11333=0,42 <0,81

Avec Nbmax a.b.fbu=1359,96KN l’effort de compression centré maximal supportable par le béton.

Comme Ψ1≤0,81 x sera calculé alors de cette façon

eNC= εxb

Excentricité critique relative

Ψ1≥23: ε= 3Ψ1-11-Ψ14 Ψ1=0,089

eNC= εxh=0,089 x 0,3=0,0267m=> eNC= 2,670 cm

Comme e >eNC la section est partiellement comprimée

Dimensionnement de la section partiellement comprimée

Calcul du moment de flexion fictif

Mufictif)= Mu+ Nu d-b2= Nue+d-h2

= 577,08 (0,0936+0,38- 0,42=157,889KNm

Calcul de moment réduit

uu=Mufictifbd2fbre= 157,8890,3 x 0,382 x 11333=0,322 >0,186 (pivot)

ulim=0,39 pour les aciers FeE400

uu< ulim. Armature simple

Calcul des aciers tendus

Comme uu< ulim la section des aciers tendus sera calculée par cette relation.

As= βu.b.d fbuσs

NB : Nous tachons à signaler que la valeur de β est fonction de moment réduit ultime trouvé à l’aide des abaques.[1]

Pour uu=0,322=> βu=0,4033

D’où Asf=0,4033 x 0,3 x 0,38 x 11333348000=14,97cm²

Asf=14,97cm²

Asréelle =Asf-Nuσst=0,001497-577,08348000

=0,001497-1,66 x 10-3=0,001497-0,00166= -1,6 x 10-4cm²

La valeur de la section As étant négative, nous prenons alors comme section As , la section minimale imposée par la règle du millième et par la règle de non fragilité.

Ast≥maxbh1000;0,23 bd ft28fe=>Asf ≥max30 x 401000;0,23x 25 x 361,8400≥1cm²

Nous adoptons 1,02cm² soit 2 ∅ 16

Calcul de la section d’acier comprimé

Ascmin=4cm² soit une section réelle de 6,16 donc 4 ∅ 16

[1] BAEL 91 modifié 99 et DTU associés, Jean –Pierre Mougin, Pages 122.

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