Chapitre III ETUDE DES POUTRES LONGITUDINALES

III.1. Introduction

Dans ce présent chapitre, nous allons calculer les poutres continues c’est-à-dire les poutres sur plusieurs appuis. Calculer ces poutres revient tout simplement à déterminer les éléments de réduction (M, T, N) et ces derniers permettent de trouver les armatures tant longitudinales que transversales à mettre dans ces poutres.

Ces poutres seront de section transversale soit rectangulaire soit Té(T) selon la considération de l’axe neutre et leur moment d’inertie qui peut être variable

Ou constant le long de la poutre.

Pour calculer les éléments de réduction dans ces poutres, nous avons plusieurs méthodes à utiliser mais, pour notre cas, nous allons utiliser la méthode des trois moments (CLAYPERON).

III.2. Définition

La poutre est un élément linéaire dont les mesures de la section transversale sont beaucoup plus petites que la longueur (portée).

III.3. Pré dimensionnement

La variété des formes des sections transversales des éléments utilisés dans les constructions n’est pas un fait du hasard. Dans la plupart des cas ces formes ont été développées pour répondre à des critères de résistance, de rigidité ou stabilité. A ce stade de pré dimensionnement, nous pouvons choisir la hauteur de la poutre en fonction de sa portée.[1]

Prenons L=500 cm (qui est la longueur la plus grande) d’un panneau.

Donc, nous allons utiliser cette condition ci-dessous :

Nous adoptons 30 cm afin d’éviter la variabilité d’inertie.

Et la largeur  peut être déduite de sa hauteur :

Nous adoptons 20 cm pour un bon aspect architectural c’est-à-dire rationaliser la base de la poutre à celle du bloc et faciliter la mise œuvre du coffrage.

NB : La largeur de la table(b) à prendre en compte doit être prise :

Donc, après la résolution de l’équation nous trouvons que b vaut 120 cm.

III.4. Mécanisme de rupture

Il est évident de procéder par l’opération de construction des lignes de rupture qui nous aideront à bien déterminer l’aire de la surface de rupture appartenant à chacune des poutres. A l’occurrence son poids propre et celui de la dalle situé au-dessus d’elle. C’est ainsi que nous avons :

Alors, dans l’ensemble, nous aurons :

III.5. Calcul des poutres principales

III.5.1. Poutres principales sous toiture terrasse

Nous tachons à rappeler que le pré dimensionnement de ladite poutre a été fait au départ. Alors pour bien entreprendre le calcul, nous sommes dans l’obligation de bien évaluer les différentes charges sollicitant la poutre. Il sera ici question de calculer la poutre la plus chargée et générer les résultats dans toutes les autres.

III.5.1.1. Evaluation des charges sollicitant la poutre

Nous considérons la méthode des lignes de rupture comme a été signifiée au début. Nous admettons également que les lignes de ruptures d’un panneau de dalle encastré sur son contour :

• Forment un angle de 45° avec les rives des panneaux
• Sont parallèles au grand coté

Figure : transmission des charges des dalles aux poutres

 On définit des charges uniformément reparties équivalents sur les travées des poutres par la relation donnée ci-dessous :

Avec Q : la charge qui produira le même effort tranchant et le même moment fléchissant à mi- travée que la poutre de référence portant la charge due au mécanisme de rupture du plancher.

Evaluation de la charge Q

• Surface du trapèze :
• Le poids du mur vaut 0 pour ce cas-ci

Chargeons maintenant notre poutre avec la charge Q pour obtenir :

N.B :Comme nous les savons bien

Résolution par la méthode de trois moments

Nous savons que l’angle de rotation pour ce type de poutres à l’appui B est :  .

Remplaçons les différentes longueurs par leurs mesures respectives :

Ce qui donne :

Isolons la deuxième structure :

On a :

Isolons la troisième structure :

On a :

On obtient le système d’équations suivant :

Après la résolution de ce système d’équations, on obtient :

Ayant ces différentes valeurs des moments aux appuis, on trouve les réactions suivantes aux appuis :

Les efforts tranchants

ALLURE DES DIAGRAMMES DE MOMENTS FLECHISSANT ET DES EFFORTS TRANCHANTS

Les moments en travée

Considérons les réactions d’appuis et les différents moments aux appuis, cela nous a conduit facilement à l’évaluation des moments en travée :

Pour le plancher toiture terrasse, on a :

• Moment maximum aux appuis :
• Moment maximum en travée :

Calcul des armatures

1. Armatures longitudinales
2. Géométrie de la poutre:

• La base de la poutre :
• La hauteur totale :
• La hauteur utile :
• La largeur de la table de compression :

1. Caractéristique des matériaux :

1. c. Comparaison du moment réduit[2]:

Nous savons que  dépend du type d’acier utilisé. Comme nous utilisons le Fe E400, . En comparant la valeur du moment réduit trouvé par rapport à , on a :

• Si
• Si

Armatures inférieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

Armatures supérieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

2. Armatures transversales

Détermination de la contrainte tangentielle limite ultime

Avec les armatures transversales droites ( ) et la fissuration peu préjudiciable, on a :

Min ( ; 5

Détermination de la contrainte tangentielle conventionnelle :

• , Épaisseur minimale de l’âme ;
• d=0,28 cm, hauteur utile ;

On constate que : 

Détermination de la section d’armatures :

Pour le diamètre des armatures transversales, on a :

mm.

Aussi les armatures d’âme et les espacements sont tirés de l’équation :          

Avec :  bornée supérieurement  à 2,666 MPa.

k est un coefficient qui prendra les valeurs ci-dessous suivant le cas :

• : Reprise de bétonnage non traitée, fissuration très préjudiciable
• 1 : en flexion simple.

Avec  : angle d’inclinaison des cadres pour nous .

.

.

Pourcentage minimal d’aciers :

.

Vérification :

Ainsi suivant les nombre de barres longitudinales, nous choisissons les cadres à 2 brins.

La section

Ainsi, nous fixons l’espacement des cadres à

 Espacement maximal :

.

C’est ainsi que

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

III.5.2. Poutres principales sous le plancher d’habitation

Pour ce cas, nous répétons le même procédé de calcul comme au premier cas. On obtient :

III.5.2.1. Evaluation des charges sollicitant la poutre

Définissons des charges uniformément reparties équivalents sur les travées des poutres par la relation donnée ci-dessous :

Avec Q : la charge qui produira le même effort tranchant et le même moment fléchissant à mi- travée que la poutre de référence portant la charge due au mécanisme de rupture du plancher.

Evaluation de la charge Q

• Surface du trapèze :
• Le poids du mur

Chargeons maintenant notre poutre avec la charge Q pour obtenir :

Après la résolution relative de la poutre ci-dessous, nous présentons dans un tableau de synthèse, les valeurs des moments en travée, des moments aux appuis, des efforts tranchants et réactions d’appuis.

Moments aux appuis	Moments en travée	Efforts tranchant	Réactions d’appuis
			166,96

Pour le plancher toiture terrasse, on a :

• Moment maximum aux appuis :
• Moment maximum en travée :

Calcul des armatures

1. Armatures longitudinales

Géométrie de la poutre :

• La base de la poutre :
• La hauteur totale :
• La hauteur utile :
• La largeur de la table de compression :

Caractéristique des matériaux :

Comparaison du moment réduit[3] :

Nous savons que  dépend du type d’acier utilisé. Comme nous utilisons le Fe E400, . En comparant la valeur du moment réduit trouvé par rapport à , on a :

• Si
• Si

Armatures inférieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

Armatures supérieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

2. Armatures transversales

Détermination de la contrainte tangentielle limite ultime

Avec les armatures transversales droites( ) et la fissuration peu préjudiciable, on a :

Min ( ; 5

Détermination de la contrainte tangentielle conventionnelle :

• , Épaisseur minimale de l’âme ;
• d=0,28 cm, hauteur utile ;

On constate que : 

Pour les armatures d’âme droites voir le cas précédent.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

III.5.3. Poutres principales sous le plancher des bureaux

Pour ce cas, nous répétons le même procédé de calcul comme au premier cas. On obtient :

III.5.3.1. Evaluation des charges sollicitant la poutre

Définissons des charges uniformément reparties équivalents sur les travées des poutres par la relation donnée ci-dessous :

Avec Q : la charge qui produira le même effort tranchant et le même moment fléchissant à mi- travée que la poutre de référence portant la charge due au mécanisme de rupture du plancher.

Evaluation de la charge Q

• Surface du trapèze :
• Le poids du mur

Chargeons maintenant notre poutre avec la charge Q pour obtenir :

Après la résolution relative de la poutre ci-dessous, nous présentons dans un tableau de synthèse, les valeurs des moments en travée, des moments aux appuis, des efforts tranchants et réactions d’appuis.

Moments aux appuis	Moments en travée	Efforts tranchant	Réactions d’appuis
			175,31
			4,17

Pour le plancher toiture terrasse, on a :

• Moment maximum aux appuis :
• Moment maximum en travée :

Calcul des armatures

1. Armatures longitudinales

Géométrie de la poutre :

• La base de la poutre :
• La hauteur totale :
• La hauteur utile :
• La largeur de la table de compression :

Caractéristique des matériaux :

Comparaison du moment réduit[4] :

Nous savons que  dépend du type d’acier utilisé. Comme nous utilisons le Fe E400,   . En comparant la valeur du moment réduit trouvé par rapport à , on a :

• Si
• Si

Armatures inférieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

Armatures supérieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :

• Calcul de la section d’armatures :

On a :

2. Armatures transversales

Détermination de la contrainte tangentielle limite ultime

Avec les armatures transversales droites( ) et la fissuration peu préjudiciable, on a :

Min ( ; 5

Détermination de la contrainte tangentielle conventionnelle :

• , Épaisseur minimale de l’âme ;
• d=0,28 cm, hauteur utile ;

On constate que : 

Pour les armatures d’âme droites voir le cas précédent.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

III.5.4. Poutres principales sous le plancher de balcon et salle de fête

Pour ce cas, nous répétons le même procédé de calcul comme au premier cas. On obtient :

III.5.4.1. Evaluation des charges sollicitant la poutre

Définissons des charges uniformément reparties équivalents sur les travées des poutres par la relation donnée ci-dessous :

Avec Q : la charge qui produira le même effort tranchant et le même moment fléchissant à mi- travée que la poutre de référence portant la charge due au mécanisme de rupture du plancher.

Evaluation de la charge Q

• Surface du trapèze :
• Le poids du mur

Chargeons maintenant notre poutre avec la charge Q pour obtenir :

Après la résolution relative de la poutre ci-dessous, nous présentons dans un tableau de synthèse, les valeurs des moments en travée, des moments aux appuis, des efforts tranchants et réactions d’appuis.

Moments aux appuis	Moments en travée	Efforts tranchant	Réactions d’appuis
			232,19

Pour le plancher toiture terrasse, on a :

• Moment maximum aux appuis :
• Moment maximum en travée :

Calcul des armatures

1. Armatures longitudinales

Géométrie de la poutre :

• La base de la poutre :
• La hauteur totale :
• La hauteur utile :
• La largeur de la table de compression :

Caractéristique des matériaux :

Comparaison du moment réduit[5] :

Nous savons que  dépend du type d’acier utilisé. Comme nous utilisons le Fe E400, . En comparant la valeur du moment réduit trouvé par rapport à , on a :

• Si
• Si

Armatures inférieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

Armatures supérieures :

• Moment réduit :
• Calcul du paramètre de déformation :
• Calcul du bras de levier :
• Calcul de la section d’armatures :

On a :

2. Armatures transversales

Détermination de la contrainte tangentielle limite ultime

Avec les armatures transversales droites( ) et la fissuration peu préjudiciable, on a :

Min ( ; 5

Détermination de la contrainte tangentielle conventionnelle :

• , Épaisseur minimale de l’âme ;
• d=0,28 cm, hauteur utile ;

On constate que : 

Pour les armatures d’âme droites voir le cas précédent.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

[1] BAEL 91 et modifications 99, pages 65

[2] Pratique du BAEL91 et modifié 99, Page 37

[3] Pratique du BAEL91 et modifié 99, Page 37

[4] Pratique du BAEL91 et modifié 99, Page 37

[5] Pratique du BAEL91 et modifié 99, Page 37