Table de matières
En substituant les différentes valeurs de moment et effort tranchant
dans les combinaisons proposées par la norme, nous trouvons que les combinaisons les plus défavorables sont les suivantes :
Ø Pour les moments :
ELU : Mu= 1,35MG + 1,5MA après affectation de coefficient de pondération du système B et son coefficient de majoration on a :
ELS : Mser= MG + MA
Ø Pour les efforts tranchants :
ELU : Tu= 1,35TG + 1,5TA
ELS : Tser= TG + TA
MuAx=1,35*3,36 + 1 ,5*7,97=16 ,49KNm
MuAx=16,49KNm
Mutx=1,35*1,68 + 1 ,5*3,98 = 8,24KNm Mutx=8,24KNm
MuAy=1,35*9,69 + 1,5*22,96 =47 ,52KNm MuAy=47,52KNm
|
- |
Moment en travée suivant y : |
|
- |
Effort tranchant suivant x : |
Muty=1,35*4,85 + 1,5*11,48= 23,77KNm Muty=23 ,77KN
|
- |
Effort tranchant suivant y: |
Tu=1,35*5,53 + 1,5*13,09 =27,10KN Tux=27 ,10KN
Tu=1,35*6,41 + 1,6*1,2**40,40=97,546KN Tuy=97,546KN
47,52KNm 47,52KNm 47,52KNm 47,52KNm
23,77KNm 23,77KNm 23,77KNm
16,49KNm 16,49KNm
8,24KNm 8,24KNm 8 ,24KNm
MserA=4,028KNm
Msertx= 1,68+ 1,2*0,648 *1,2*=3,247KNm
Msertx=3,247KNm
MserAy= 9,69 + 1,2*0,895 *1,2*=11,17KNm
Mser Ay=11,17KNm
Mserty= 4,85+ 1,2*1,432 *1,2*=7,21KNm
Mserty=7,21KNm
Tserx= 5,53+ 1,2*41,45 *1,2*=73,93KN
Tserx=73,93KN
Tsery= 6,41+15,18 =73,07KN
Tsery=73,07KN
IV.2.3. Ferraillage de la dalle
= 17MPa
Mutx=8,24KNm=8,24*10-3MNm d=0,17m
µu k=
Axt/m
Axt=1,13cm2/m (La section théorique). La technologie nous recommande de prendre Axtreel= 3,14 cm2 (la section réelle) qui Correspond à 4HA10/m avec un espacement de 25 cm
µu k=
(La section théorique). La technologie
nous recommande de prendre Aytreel= 3,92cm2 (la section réelle) qui Correspond à 5HA10/m avec un espacement de 20cm
µu, 17
k=
(La section théorique).
La technologie nous recommande de prendre AxAreel= 7,06 cm2 (la section réelle) qui Correspond à 9HA10/m avec un espacement de 11 cm
µu k=
(La section théorique).
La technologie nous recommande de prendre AxAreel= 3,14 cm2 (la section réelle) qui
Correspond à 4HA10/m
Avec un espacement de 25cm
Calcul pour le dépassement du trottoir
Mappui = 6,41KN/m
Tmax= p*x=18,99KN
Le moment repris par le dépassement du trottoir vaut :
M= 47, 52 + 6, 41= 53, 93 KNm
µu 0, 11 < 0, 17
k
A= k M = 7,81 cm2 (La section théorique).
AxAreel= 7,85 cm2 (la section réelle) qui Correspond à 10HA10/m
Avec un espacement 10cm
Avec
Puisque cette portion porte dans un seul sens nous prenons le ¼ de surface d’acier porteuse.
On maintient HA8 avec un espacement de 15cm
IV.3. LA POUTRE PRINCIPALE
IV.3.1. Calcul des coefficients de répartition transversale
Pour le calcul des coefficients de répartition transversale, nous allons
utiliser la méthode de GUYON-MASSONNET.
Bo=288,3 cm= 2,883m (la largeur de la table)
Ltr=1,50m
2b=10m →b= 5m ; avec 2b : la largeur du pont
Le=67,5cm= 0,675m ; avec Le : l’encorbellement n=4 ; avec n : nombres des poutres
(bo-ba)=2,883-0,45=2,433
Ip=Ix+ba.hp+ba.hp2]2/[(bo-ba) hd+ba.hp]
Ø Calcul de rigidité de flexion de la poutre: á¿¥p
Avec Bp=E*Ip
Ѓ2,883*0,23= 0,003844m4
Ѓ-hd)*ba0,2)*0,453
K(3,11)*0,0638 K(3,11)=?
D’après une interpolation linéaire en employant le tableau n°1 page 5 de GUYONMASSONNET,
K(3,11) est compris entre k(3)=0,263 et k(4)= 0,281.
Après interpolation nous trouvons k(3,11)=0,2674
Ѓ2=0,2674*0,0638=0,01706012
Ѓ2=0,01706012
Le moment d’inertie de la section est la somme de deux moments d’inertie, c.à.d.
kp= Ѓ1+Ѓ2=0,003844+0,01706012=0,020844m4
Ɣp*E = 0,00360735*E
ƔE= ῥE = ( hd3/12)*E=0,00067E
EN RESUME :
|
Ɣp=0,00360735*E |
ƔE=0,00067E |
|
á¿¥p=0,01942421*E |
á¿¥E =0,00067E |
Avec L : la longueur du pont et b : la moitié de la largeur du pont
= 0,828 > 0,3
Nous utilisons alors la méthode de GUYON-MASSONNET.
Remarque : Le module de Young, E, se simplifie. Nous n’avons pas besoin de connaître sa valeur. Ceci est vrai lorsque les poutres et le hourdis (jouant le rôle d’entretoise) sont de même matériaux (même E).
IV.3.2. Calcul des coefficients de répartition transversal de poutre de rive
K=Ko+ (k1-ko) α (1-) ; avec Ï´o =
Ainsi k= ko+ (k1-ko) 0,594(1-) K= ko+0,406(k1+ko)
k/α=0,594=0,594ko+0,406k1
Ï´=0,828 avec Ï´ compris entre Ï´=0,80 et Ï´=0,85. Après interpolation sur le tableau de Massonnet, on trouve k Ï´ correspondant à 0,828 qui se présente par :
Pour la poutre de rive ; y = bo+ bo/2= 288,3+288,3/2=432,45cm= 4,3245m
Y=432,45cm = 4,325m
On sait que la largeur du pont est de 2b=10m →b=5m
Donc y=*b = 0,87b
Les tableaux de Massonnet donnent les valeurs de k pour k0, 75 ou -3b/4 et Kb= k/y=b. c.à.d. 0,87b est situé entre 0,75b et b Après interpolation nous trouvons :
K /y=0,87b=0,52k0,75b+0,48k
En résume, on a trois interpolations à faire choisir par ordre
Il ne reste plus qu’{ trouver k en fonction de l’excentricité (e) pour ce,
Nous avons deux cas
Tableau de k/Ï´
|
E |
-5 |
-3,75 |
-2,5 |
-1,25 |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
|
kÆŸ1 |
-0,08 |
-0,105 |
-0,07 |
0,048 |
0,335 |
0,89 |
1,8 |
3,05 |
4,45 |
|
kÆŸ2 |
-0,057 |
-0,044 |
0,004 |
0,141 |
0,448 |
1,01 |
1,84 |
2,82 |
3,78 |
|
Kɵ |
-0,067 |
-0,071 |
-0,029 |
0,1 |
0,398 |
0,96 |
1,83 |
2,92 |
4,07 |
La courbe discrétisée
Le trottoir a une largeur de 1,50m, en positionnant la charge de trottoir sur la courbe tout en respectant sa largeur par rapport au profil transversal du pont, en rappelant la surface engendrée vaut :
Le trottoir droit ayant une largeur que celui de gauche, en faisant la même opération nous avons :
La surface totale de diagramme du trottoir vaut : strg+ strd= 0,098+5,78= 5,878
Pour une voie chargée vaut :
ktr
Kv1, 39
Kv, 85
KMc120, 63
3.2. Sous les charges ponctuelles
Pour ce cas, nous positionnons les charges telles que nous ayons l’effet
le plus défavorable respectivement comme prévu dans le fascicule 61 titre II de la norme exhibé ci-haut
1) Système B :
Le coefficient de répartition ɳ est déterminé par la relation suivante :
ɳ
IV.3.2. Calcul des coefficients de répartition transversal de poutre centrale
Les autres paramètres étant déjà calculé, nous allons garder les mêmes
paramètres et change que l’interpolation sur Y
Ø Interpolation sur y (la position de la poutre)
Y= bo/2= 288,3/2=144,5cm=1,445m
Y=1,445m
Nous savons que la largeur du pont est : 2b=10m →b=10/2=5m.
b=5m donc y=0,288*b
y=0,29*b
Nous remarquons que :
Les tableaux de Guyon Massonnet nous donnent les valeurs de k pour k0, 25b ou ¼*b
Après interpolation nous trouvons la valeur de k correspondant à y=0,29b
K0, 29b=0,52k0, 75b+0,48kb
En résumé on a trois interpolations à faire, on choisit par ordre :
Il ne reste plus qu’{ trouver k en fonction de l’excentricité k(e)
Ï´1=0,80
E -5 -3,75 -2,5 -1,25 0 1,25 2,5 3,75 5 k(0,25b) -0,49 0,0123 0,539 1,108 1,648 1,92 1,64 1,07 0,44
K0 k(0,5b) -0,472 -0,184 0,135 0,539 1,06 1,64 2,05 2,04 1,84 k(0,29b) -0,487 -0,019 0,475 1,017 1,554 1,87 1,7 1,22 0,66
k(0,25b) 0,392 0,5089 0,681 0,931 1,231 1,44 1,34 1,15 1
K1 k(0,5b) 0,252 0,3389 0,472 0,681 0,98 1,34 1,63 1,64 1,56 k(0,29b) 0,37 0,4817 0,648 0,891 1,191 1,42 1,39 1,23 1,09
Kα kÆŸ1 -0,139 0,1842 0,545 0,966 1,406 1,69 1,58 1,23 0,83
Ï´2=0,85
E -5 -3,75 -2,5 -1,25 0 1,25 2,5 3,75 5 k(0,25b) -0,529 0,029 0,507 1,113 1,716 2,03 1,68 1,01 0,27
K0 k(0,5b) -0,441 -0,186 0,108 0,507 1,054 1,68 2,12 2,03 1,72 k(0,29b) -0,515 -0,005 0,444 1,016 1,61 1,97 1,75 1,17 0,5
k(0,25b) 0,352 0,4703 0,652 0,924 1,26 1,49 1,37 1,15 0,97
K1 k(0,5b) 0,217 0,3009 0,434 0,652 0,972 1,37 1,69 1,68 1,57 k(0,29b) 0,331 0,4432 0,617 0,881 1,214 1,47 1,42 1,23 1,06
Kα kÆŸ2 -0,172 0,1767 0,514 0,961 1,449 1,77 1,62 1,2 0,73
|
e |
-5 |
-3,75 |
-2,5 |
-1,25 |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
|
kÆŸ1 |
-0,1391 |
0,184 |
0,5449 |
0,966 |
1,406 |
1,691 |
1,58 |
1,23 |
0,83 |
|
kÆŸ2 |
-0,1716 |
0,177 |
0,5139 |
0,961 |
1,449 |
1,77 |
1,62 |
1,2 |
0,73 |
|
Kɵ |
-0,1573 |
0,18 |
0,5276 |
0,963 |
1,43 |
1,735 |
1,6 |
1,21 |
0,78 |
La courbe discretisée
Le trottoir a une largeur de 1,50m, en positionnant la charge de trottoir
sur la courbe tout en respectant sa largeur par rapport au profil transversal du pont, en rappelant la surface engendrée vaut :
Ø Surface du trottoir droit :
Le trottoir droit ayant une largeur que celui de gauche, en faisant la
même opération nous avons :
Pour une voie chargée vaut :
3.1. Sous les charges reparties
ktr
Kv1
Kv
3.1. sous les charges ponctuelles
Pour les charge ponctuelles, nous positionnons les charges telles que
nous ayons l’effet le plus défavorable respectivement comme prévu dans le fascicule 61 titre II de la norme exhibé ci-haut
Le coefficient de répartition ɳ est déterminé par la relation suivante :
ɳ
Trottoir :
Une voie chargée :
Deux voies chargées :
Convoi militaire M
Système B :
RESUME DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSAL(CRT)
|
TABLEAU DE CRT(η) |
|||
|
SYSTÈME DE |
|||
|
CHARGEMENT |
CRT |
||
|
POUTRE DE RIVE |
POUTRE CENTRALE |
||
|
SYSTÈME A |
UNE VOIE CHARGEE |
0,35 |
0,38 |
|
DEUX VOIES CHARGEES |
0,21 |
0,29 |
|
|
SYSTÈME B |
SYSTÈME BC |
0,53 |
0,71 |
|
SYSTÈME Bt |
0,45 |
0,66 |
|
|
SYSTÈME Br |
0,13 |
0,22 |
|
|
TROTTOIR |
0,98 |
0,66 |
|
|
MILITAIRE Mc120 |
0,91 |
0,36 |
|
Les coefficients de répartition maintenus sont les suivant :
|
système A |
0,38 |
|
système Bc |
0,71 |
|
système Bt |
0,66 |
|
système Br |
0,22 |
|
Trottoir |
0,98 |
|
militaire Mc120 |
0,91 |
La charge permanente du tablier calculée ci-haut est comme suit :
P=162,12KN/m
Mmax=p*l2/8=162, 12*142/8=3971, 94 KNm
Tmax=p*L/2=162, 12*14/2=1134, 84KN
Elle se calcul de la manière suivante:
avec l: la portée du pont
A(l) = =1614,62kg/m2=16,15 KN/m2*10m=161,5KN/m
161,5KN/
Mmax=p*l2/8=161, 5*142/8=3956, 75KNm
Tmax=p*L/2=161, 5*14/2=1130, 5KN
A ce qui nous concerne dans notre ouvrage, nous appliquons sur les
trottoirs une charge uniforme de 150kg/m2 selon le fascicule 61 titre II
Pour les deux trottoirs chargés p=2,25*2=4,50KN/m
Mmax=p*l2/8=4, 50*142/8=110,25KNm
Tmax=p*L/2=4, 50*14/2=31,5KN
IV.3.3.Etude des lignes d’influences longitudinale 1. CONVOI MILITAIRE Mc120
Statiquement elle se présente comme suit :
Longitudinalement en plan (long)
Transversalement
Schémas statique
1.1. Calcul de la courbe enveloppe de moment et de l’effort tranchant du convoi Mc120
L
RA=1-
RB=
M(x)= RAx =(1)x
À la position x=α, on a li)α qui une parabole
=0 → α =
M(
L’équation de la parabole est M(α)=α -
Le coefficient de majoration dynamique de ce système calculé ci-haut est de
Mc120 =1,173
Recherche de cas défavorable
α=8,8m→ = 3,268m
= 3,5m
Mmax= 33*1,173*3,5+33*1,173*3,268=261,98 tm=2619,8KNm
Deuxième possibilité :
α=6,1m→ = 3,44m α=7,9m→ = 3,44m
Mmax= 33*1,173*3,44+33*1,173*3,44=266,32 tm=2663,2KNm
Mmax=2663,2KNm
À considérer car c’est le cas le plus défavorable des possibilités
Ligne d’influence longitudinale de l’effort tranchant (Mc120)
T(1,8)= 1- 2*1,8/14=0,743m
Tmax=33*1,173*(1-0,743)=67,47t= 674,7KN
Tmax=674,7KN
C’est la seule possibilité la plus défavorable des efforts tranchants
1) SYSTÈME Br
Longitudinalement : 10t pour deux on a : 20t
La courbe enveloppe de moment et de l’effort tranchant est la suivante :
Recherche de cas défavorable
Ici nous n’avons qu’une seule possibilité de cas défavorable. Chargeons les deux voies
20t*Br=1,112
Mmax= 20*1,112*14/4 = 77,84tm=778,4KNm
Mmax=778,4KNm
Ligne d’influence longitudinale de l’effort tranchant du système Br
Tmax=20*1,112**1=22,24t=222,4KN Tmax=222,4KN
467m
3,467m
T(1,35)=1-2(1,35)/14=0,807
Tmax= 32*1,146*1+32*1,146*0,807= 66,26t=662,6KN
Tmax=662,6KN
Après plusieurs tests nous avons trouvé cette position la plus défavorable pour le moment
14m
0,93m
3,34m
liM(7)=14/4=3,5m
LiM(11,5)=11,5 -= 2,05m
Mmax=12*1,151*0,93+24*1,151*3,34+24*1,151*3,5+12*1,151*2,05=230,11tm
Mmax==2301,1KN
Ligne d’influence longitudinale de l’effort tranchant du système Bc
Après plusieurs tests sur l’allure, nous trouvons comme la position la plus défavorable la position suivante
liT(1)=1-2*1/14=0,86 liT(5,5)=1-2*5,5/14=0,21 liT(7)=1-2*7/14=0 liT(11,5)=1-2*11,5/14= -0,64
Tmax = 12*1,151*0,86+24*1,151*0,21+24*1,151*0+12*1,151*(-0,64)=8,84t=88,4KN
Tmax =88,4KN
Après avoir affecté les différents coefficients de répartition, nous les
divisons par le nombre de poutre principale pour avoir la portion reprise par une poutre.
Nous le résumons par le tableau ci-dessous :
|
RESUME DES EFFORTS INTERIEURS MAX |
||||||
|
système de charge |
coefficient de répartition (ɳ) |
Mmax total (KNm) |
Tmax Total (KN) |
Mmax pour une poutre(KNm) |
Tmax pour une poutre(K N) |
|
|
Mmax*ɳ/4 |
Tmax*ɳ/4 |
|||||
|
sous charge |
||||||
|
permanente |
|
3971,94 |
1134,84 |
992,985 |
283,71 |
|
|
sous système A |
0,38 |
3956,75 |
1130,5 |
375,89125 |
107,3975 |
|
|
sous trottoir |
0,98 |
110,25 |
31,5 |
27,01125 |
7,7175 |
|
|
sous système B |
|
|
|
|||
|
|
BC |
0,71 |
2301,1 |
88,4 |
408,44525 |
15,691 |
|
Bt |
0,66 |
2542,8 |
662,6 |
419,562 |
109,329 |
|
|
Br |
0,22 |
778,4 |
222,4 |
42,812 |
12,232 |
|
|
sous le convoi Mc120 |
|
0,91 |
2663,2 |
674,7 |
605,878 |
153,4942 5 |
Le fascicule 61titre II nous propose des combinaisons fonctions de nos
différents systèmes de chargement pris en compte. Après avoir testé chaque combinaison, voici la combinaison retenue
Mu=1,35MG+1,5Mc120
Tu=1,35TG+1,5Tc120
Mu=1,35MG+1,5Mc120= 1,35*992,985+1,5*605,878=2249,35 KNm
Mu=2249,35 KNm
Tu=1,35TG+1,5Tc120= 1,35*283,71+1,5*153,49425=613,25KN
Tu=613,25KN
Mser=MG+ Mc120= 992,985+605,878=1598, 86KNm
Mser=1598, 86KNm
Tser=TG+ Tc120= 283, 71+153,49425=437,20425KN
Tser=437,20425KN
H=900mm ho=200mm bo=450mm d’=900-30=870mm
fbu17N/mm2
347,83N/m2
< 0,186 pivot A;
la poutre est simplement armé car 0,14 < 0,39
α= 1,25(1 -) = 0,189
Vérifions la position de l’axe neutre
= α*d = 0,189*870 = 164,43mm
Puisque 164,43mm < 200mm, l’axe neutre tombe dans la table de compression ; dans ce cas, la poutre est calculée comme une poutre rectangulaire
Z= d (1-0,4α)= 870(1-0,4*0,189) = 804,228mm
(la section théorique)
La section réelle vaut : 80,40 cm2 qui correspond à 10HA32
Déterminons y1 { l’aide l’équation du moment statique
) avec
120600y1- 104922000 = 0
Après la résolution de cette équation du second degré nous trouvons les racines suivant :
mm
mm à rejeter
Puisque y1 > h0 , la fibre neutre est dans la nervure.
Dans ce cas, il faut reconsidérer les hypothèses de calcul et notamment l’équation du moment statique.
La poutre est considérée en Té, dans l’expression du moment statique nous devons retrancher le terme
L’expression du moment statique devient donc
A = b
A = 450
= 0
A = 450=0
Après résolution de cette équation on a:
mm
mm (à rejeter)
I= =
=
343791621,3 cm4
Ensuite, nous calculons les contraintes normales dans le béton
KN/cm2 =0,156N/mm2
La contrainte admissible normale du béton vaut : = 0,6=0,6*30=18 N/mm2
0,144 N/mm2 < 18 N/mm2
Vérification de l’acier : N/Cm2
= 3,73N/mm2
=266,67 N/mm2
N/mm2 < 266,67 N/mm2
Les poutres en « té » sont justifiées vis-à-vis des sollicitations tangentes
en ne considérant que l’âme des poutres, donc comme une poutre rectangulaire de dimensions bo h
, 0015KN/mm2=1,5N/mm2
ð‘¢=1,5N/mm2
; 5MPa]
= 4
1,5MPa <
Les armatures droites transversales doivent vérifier la condition suivante :
=100mm
Sachant que la fissuration est préjudiciable
K=
215,625mm2 = 2,16cm2(la surface théorique)
La section réelle vaut : =2,26cm2 qui correspond à 2HA12 par paquet
Vérification de la liaison de l’âme et le débord
Il existe des contraintes tangentes dans le plan de jonction verticale du débord de la table et de l’âme de la poutre. Ses contraintes ont pour valeur :
Le règlement nous donne une formule simplifiée :
Largeur du débord
Nous concluons qu’on n’a pas besoin des armatures spécifiques pour lutter contre le glissement entre âme de la poutre et le débord seul les armatures de la dalle jouerons ce rôle. Pour ce, ils doivent vérifier la condition ci-après
Avec :
Ats : aciers transversaux supérieurs de la dalle
Ati : aciers transversaux inférieurs de la dalle.
1,5N/mm2
La condition a vérifié
Voici sa configuration :
Avec :
St : espacement des aciers dans le sens longitudinal de la poutre.
ls : longueur de scellement droit des aciers
Pour les barres à haute adhérence (Fe HA 400) : ls=40Ǿ
1.1. Dimension des armatures transversales
Diamètre des armatures transversales
Diamètre des armatures longitudinales = 32mm h : hauteur totale de la poutre = 900mm
Largeur de la poutre ;
On prendra ;]
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