Table de matières
Dans ce point, il est proposé une discussion succincte sur le choix entre l’utilisation du modèle Logit ou du modèle Probit. Ensuite intervient le test de normalité et enfin la modélisation du modèle retenu.
Comme notre variable expliquée (la demande de credits) est dichotomique, nous nous trouvons astreint de choisir un modèle d’analyse approprié et adapté. Dans cette perspective, Hurlin (2003) souligne que les modèles dichotomiques Logit et Probit admettent pour variable expliquée, non pas un codage quantitatif associé à la réalisation d’un événement (comme dans le cas de la spécification linéaire), mais la probabilité d’apparition de cet événement, conditionnellement aux variables exogènes.
Ainsi, on considère le modèle ci-dessous:
Où la fonction F (Xiβ) désigne une fonction de répartition, β est un vecteur des paramètres (inconnus) associés au vecteur Xi. Ce dernier désigne un vecteur des variables explicatives susceptibles d’influencer la demande de credits par la PME.
Soulignons par ailleurs que pour estimer la probabilité qu’une PME demande de crédits, nous avions, partant du test de normalité, le choix d’utiliser soit la fonction de répartition de la loi logistique, soit celle de la loi normale centrée réduite.
Hurlin (2003), abordant les conditions d’usage du modèle Logit et Probit, soutient que le modèle Logit est approprié lorsque la fonction de répartition suit une loi logistique tandis que le modèle Probit est indiqué si la fonction de répartition suit une loi normale centrée réduite.
Les deux modèles (Logit et Probit) fournissent des résultats semblables en termes de signe et de significativité des coefficients. Cependant, les valeurs de ces coefficients ne sont pas directement comparables, mais il est possible d’approximer les valeurs des coefficients du modèle à partir de celles du modèle Logit en divisant celles-ci par (Bourbonnais, 2009) ou par 1, 6 pour une approximation plus précise (Amemiya, 1981, cité par Hurlin, 2003).
La probabilité pour que cet événement (demande de crédits) n’apparaisse pas sera donnée par:
Prob (Surv = 0/X) = 1 – Prob (Surv = 1/X) = 1 – F (Xiβ).
Pour se prononcer sur le modèle à utiliser, il sied de tester la normalité de nos résidus.
Ce test nous a permis à faire un choix du modèle à utiliser. Tester la normalité d’une distribution revient à savoir si cette distribution répond aux critères de normalité (Hurlin, C., 2009). En effet, le test de Jarque et Bera, fondé sur la notion de coefficient d’assymétrie « Skewness » et d’applatissement « Kurtosis » permet de vérifier la normalité d’une distribution statistique (Bourbonnais, R., 1998). Si le nombre d’observations est grand (n > 30), la statistique de ce test peut être construite comme suit:
Avec : s : la quantité de la statistique de Jarque et Bera
β1 et β2 : le coefficient de Skewness et de Kurtosis respectivement
n : la taille de l’échantillon
Cette statistique suit une loi de Khi-deux à deux degrés de liberté et les hypothèses formulées à ce test sont les suivantes:
H0 : Les résidus sont normalement distribués au seuil α si S < .
H1 : Les résidus ne sont pas normalement distribués au seuil α si S ≥ .
Figure n°1 : Normalité de résidus
Source : Traitement des données sur Eviews.
En effet, les résultats de ce graphique nous permettent de tirer deux conclusions. D’une part, la probabilité associée au test de Jarque-Bera est inférieur à 1% (avec la quantité JB= 1972>= 5,99) et pour cela les résidus ne suivent pas donc une distribution normale. D’autre part, on peut remarquer que le Skewness (-3, 17≠0) et Kurtosis (18,92≠3). En nous appuyant sur les critères de Kurtosis, de Skewness et de Jarque-Bera et sur base des résultats de cette figure, nous rejetons l’hypothèse nulle selon laquelle les données suivent une distribution normale et acceptons l’hypothèse alternative. Dès lors, il convient d’utiliser le modèle logit à la place du modèle probit.
La régression logistique est une technique statistique qui a pour objectif, à partir d’un ficher d’observation, de produire un modèle permettant de prédire les valeurs prises par une variable catégorielle, le plus souvent binaire, à partir d’une série des variables explicatives continues et ou catégorielles.
La régression logistique recourt à l’approche du Maximum de vraisemblance pour estimer le modèle. Le terme d’erreur est supposé suivre une distribution logistique.
La fonction de répartition F(.) correspond à ce modèle Logit est donnée par la formule ci-dessous :
Afin d’estimer la probabilité pi pour qu’une PME demande de credit; continuellement aux variables indépendantes retenues dans notre modèle, une linéarisation de la fonction ci-haut est nécessaire. D’où, sous forme explicite, le modèle suivant est utilisé:
Où est le parametre autonme du modèle, sont les parametes à estimer et le terme d’erreur.
En appliquant le modèle de maximum de vraisssemblance, on peut estimer l’équation (1) et obtenir le modèle (2) suivant:
Avec ln, le logarithme népérien et la probabilité relative de l’événement de demande de crédits ou encore odds[1].
β1: Les paramètres à estimer.
Le modèle ainsi obtenu peut être estimé à l’aide des algorithmes de maximisation d’une fonction de log-vraisemblance[2] (Bourbonnais, 2009). Le logiciel E-Views 3.11 a servi à l’estimation du modèle utilisé dans cette étude.
Toutefois, pour valider la pertinence de nos résultats de régression, certains tests doivent être utilisés dont les tests d’hypothèse sur les paramètres et le test de prédictions du modèle; mais aussi, certains critères doivent être respectés pour se prononcer sur son optimalité.
Ces tests ont pour objectif de vérifier la significativité d’un ou plusieurs coefficients dans le modèle logistique, c'est-à-dire, évaluer la contribution individuelle d’une variable explicative ou la significativité globale du modèle (Hurlin, C., 2003). Les tests pouvant être utilisés pour juger la significativité des coefficients sont le test de Wald, le test de rapport de maximum de vraisemblance et le test du multiplicateur de Lagrange.
Hurlin (2003) soutient que ces trois sont asymptotiquement équivalents mais peuvent se contredire sur les petits échantillons et que les tests de Wald et de rapport de maximum de vraisemblance convient le mieux sur des petits échantillons. Et ce sont donc ces derniers qui ont été utilisés dans le cadre de notre étude.
Ce test a pour objectif d’apprécier la significativité individuelle d’un coefficient. Vu que ce test n’est pas fourni par le logiciel E-Views, ce dernier est apprécié à l’aide des ratios appelés « z-statistiques » (Hurlin, 2003). Il s’agit dans ce cas de tester l’hypothèse H0: a = 0 contre H1: a ≠ 0 à un seuil donné. Et la statistique du test de Wald admet la loi suivante:
Où Zj est la valeur de la statistique du test de Wald, désigne la variance de l’estimation du jième coefficient βi. A cet effet, Zj suit, sous l’hypothèse H0 une distribution de Dhi-Deux à k[3]degrés de liberté.
Ainsi, si la statistique Zj est supérieure à 2 lu dans la table pour un seuil donné, alors l’hypothèse nulle est refusée au profit de l’hypothèse alternative, c'est-à-dire que le coefficient est statistiquement différent de zéro et donc la variable est significative statistiquement (Bourbonnais, 2009).
Ce test est utilisé pour apprécier la significativité globale du modèle. Les hypothèses de ce test sont les suivantes:H0: a = a2 = … = aj = 0, c'est-à-dire tous les coefficients du modèle sont nuls, mis à part la constante; contre Hj: a ≠ a2 ≠ … ≠ aj, c'est-à-dire un des coefficients au moins est non-nul. La statistique de ce test est donnée par:
LR = -2 (LR – LU) , où LR est la valeur de la fonction log-vraisemblance[4] contraint[5] et LU est la fonction du log-vraisemblance non-contraint. LR suit, sous l’hypothèse H0, une distribution de khi-deux à k liberté. Si la statistique LR est supérieur au X2 lu dans la table sous un seuil donné, alors l’hypothèse nulle est refusée au profit de l’hypothèse alternative, c'est-à-dire que le modèle estimé comporte au moins une variable explicative significative (Bourbonnais, 2009).
Vu que le logiciel E-Views fournit les probabilités critiques (p-value)[6] correspondantes à chacun des coefficients estimés (respectivement du modèle global), nous avions chaque fois comparé ce seuil critique avec le seuil choisi pour se prononcer sur la significativité de la variable (respectivement du modèle global).
Le but de ce test est de juger la qualité de l’ajustement, c'est-à-dire l’adéquation du modèle aux données disponibles (Hurlin, 2003). Il s’agit de savoir si le modèle spécifié est un bon outil de prédiction de demande de credits des PME retenues. Et pour cela, le nombre de prédictions fausses est écrit sous la forme:
Où yi = 1 si > [7] et si < . En effet, la quantité donne le nombre des fausses prédictions pour que ssi yi≠ , c'est-à-dire dans le cas où = 1 alors y1 = 0 ou dans le cas contraire.
Cependant, le problème avec ce critère est que l’on considère de la même façon une PME dont la probabilité pi est très faible par exemple 0,04 ou 0,00 et une PME dont pi est à 0,49 : on pénalise ces deux institutions de la même façon dans le cas d’un échec du modèle en termes de prédiction et les valorise de la même façon en cas de réussite (Hurlin, 2003).
Et compte tenu de la caractéristique de la variable à expliquer, codée 0 ou 1, le coefficient de détermination R2 n’est pas interprétable en termes d’ajustement du modèle, c’est parce que la statistique utilisée est dite pseudo-R2 (Bourbonnais, 2009). Elle a été proposée par Mc Fadden (1974, cité par Hurlin 2003) et est considérée comme une quantité similaire à un coefficient de détermination. Le Pseudo-R2 est calculé par la formule suivante:
R2 Mc Fadden =
La sélection du modèle optimal permet de choisir entre deux modèles concurrents, c'est-à-dire, deux modèles comportant des variables différentes mais qui sont toutes significatives. Le modèle à retenir est celui qui minimise la fonction d’Akaike (Akaike Information Criterion) :
AIC =
Et celle de Schwarz (Schwarz criterion):
SC =
Avec SCR, la somme des carrés des résidus du modèle, n: le nombre d’observations et k le nombre des variables explicatives. Le critère d’information d’Hannan-Quinn peut être utilisé de la même façon que celui d’AIC et de SC (Bourbonnais, 2009).
A cet effet, Bourbonnais (2009) distingue 5 méthodes qui peuvent être utilisées pour retenir le meilleur modèle. Il s’agit soit de considérer toutes les régressions possibles[8], soit d’utiliser l’élimination progressive (« Backward Elimination »), soit la sélection progressive (« Forward Regression »), soit la régression pas à pas (« Stepwise Regression ») et la régression par étage (« Stage Wise Regression »). Les 3 dernières méthodes étant appropriées pour les variables explicatives quantitatives, restent les deux premières méthodes pour la présente étude.
A cela, l’élimination progressive (« Backward Elimination ») est utilisée dans cette étude. Et partant de l’estimation du modèle complet (ou le modèle comportant toutes les variables explicatives), elle consiste à éliminer de proche en proche (c'est-à-dire en re-estimant l’équation après chaque élimination) les variables dont les z-statistiques sont en dessous du seuil critique.
4.3. Présentation des outils de collecte et de traitement des données.
Pour collecter les données, nous avons utilisé un questionnaire d’enquête. Ce dernier a tenu compte des études antérieures et des objectifs de notre recherche. Nous avons également utilisé deux types de questions : les questions fermées et les questions ouvertes. Les questions ouvertes ont été essentiellement utilisées pour découvrir la sensibilité ou l’opinion de nos enquêtés sur tel ou tel élément (par exemple, quel est le nombre d’employés dont vous disposez dans votre PME ? Depuis quand avez-vous commencé vos activités ? Etc.). Les questions fermées ont été, quant à elles utilisées pour capturer des éléments répondant aux variables retenues dans notre modèle (par exemple, d’où proviennent les fonds que vous utilisez dans votre entreprise ? Il vous est arrivé de demander des crédits au près d’une institution financière quelconque, etc.). Ce questionnaire utilisé comportait deux parties, en l’occurrence :
- les questions d’ordre général et de présentation (nom de l’entreprise, date de création, niveau d’étude de l’entrepreneur, âge de l’entrepreneur, etc.) ;
- les questions liées aux activités de la PME en question (les sources de financement, le montant moyen du chiffre d’affaire annuel réalisé par la PME, etc.).
Les traitements des données ainsi collectées ont été faits en utilisant conjointement le tableur d’Excel, le Logicil SPSS 20.00 et le logiciel E-views 3.11. Le premier nous a servi dans le dépouillement des données et leur codification et par la suite quelques statistiques descriptives ont été obtenues telles que la moyenne, l’écart-type, le maximum et le minimum et ont été utilisées pour l’analyse. Et le deuxième et le troisième, nous a permis de faire la régression et partant de divers tests statistiques (test de Wald et du rapport de maximum de vraisemblance), de déterminer ainsi les variables qui ont été pertinentes pour notre étude.
[1] Il s’agit du rapport de la probabilité Pi sur son complémentaire ou encore le rapport du nombre de cas favorables (i.e codés 1) sur les cas défavorables (codés 0) (Bourbonnais, 2009).
[2] Pour plus d’informations sur l’estimation des paramètres d’un modèle Logit, voir Hurlin (2003).
[3] Avec k : nombre des variables explicatives insérées dans le modèle.
[4] Il s’agit du logarithme népérien de la fonction de vraisemblance
[5] Indice R pour restricted et indice U pour unrestricted.
[6] C’est la probabilité de rejeter à tort l’hypothèse nulle H0. Plus cette probabilité est faible, moins le risque de se tromper est important (Bourbonnais, R., 2009).
[7] Ce seuil est fixé arbitrairement et peut être modifié par le chercheur selon l’objectif qu’il poursuit dans son étude (Hurlin, 2003).
[8] Le nombre de régressions possibles est (2k – 1). Avec k, le nombre des variables explicatives.
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