Chapitre IV. SIMULATION ET ESTIMATION DES COUTS DU FRIGO

IV.1. INTRODUCTION

Ce chapitre s’étend sur deux grandes parties. Dans la première partie il sera question de simuler le fonctionnement du réfrigérateur, évaluer ses performances suivant les différentes périodes de l’année, elle constitue en quelque sorte un complément du chapitre précédent. Une des équations régissant les transferts thermiques et massiques a été faite en considérant les hypothèses simplifiées pour les quatre périodes du cycle : chauffage, désorption, refroidissement et adsorption. La simulation numérique permet de suivre les évolutions spatio-temporelles des différentes variables d’état existant dans le réacteur solaire, et d’évaluer le coefficient de performance solaire de la machine. Elle permet également d’explorer sa sensibilité en fonction de différents paramètres de fonctionnement de la machine étudiée.

La seconde partie de ce chapitre concernera l’aspect financier du projet, un algorithme de dimensionnement est présenté afin de permettre  d’établir le devis en fonction des besoins énergétiques de l’utilisateur auxquels doit satisfaire le réfrigérateur.

IV.2. SIMULATION

Nous savons déjà que notre réfrigérateur produit le froid par intermittence. Pendant la journée, le réacteur joue le rôle de générateur et pendant la nuit il joue le rôle d’adsorbeur. Les quatre phases du cycle de réfrigération sont chacune caractérisée par un modèle mathématique approprié qui n’est rien d’autre qu’un cas particulier (une variante) du modèle globale du capteur représenté par la relation (III.60). Les modèles mathématiques de chaque phase sont présentés dans le paragraphe qui suit, après quoi, nous présenterons les résultats de nos simulations accompagnés de quelques commentaires. Les mêmes hypothèses simplificatrices évoquées dans le chapitre précédent sont aussi prises en compte pour le cas de cette partie.

IV.2.1. Modélisation du groupe réfrigérateur

Les quatre phases du fonctionnement d’un groupe frigorifique par adsorption sont modélisées par les corrélations suivantes :

IV.2.1.1. La phase chauffage de l’absorbeur (réacteur solaire)

Le bilan d'énergie dans le réacteur s’exprime par :

                                (IV.1)

Ici la masse d’eau adsorbée dans le réacteur reste inchangée et vaut  𝑚_𝑒 = 𝑚_{𝑚𝑎𝑥} 𝑚_𝑠 IV.2.1.2. La phase de Désorption - Condensation

Le bilan d'énergie dans le générateur s’exprime par :

                (IV.2)

Le bilan d'énergie dans le condenseur s’exprime par :

                                                     (IV.3)

avec :  : masse de vapeur d’eau à condenser ;

                                                                          (IV.4)

𝐶_{𝑝𝑣} : chaleur spécifique à pression constance de la vapeur d’eau ;

𝑇 : température d’entrée de la vapeur d’eau dans le condenseur ;

𝑇_𝑐 : température de condensation ;

𝑇_𝑎 : température ambiante ;

𝐿_𝑐 : chaleur latente de condensation de la vapeur d’eau ;

𝑕_𝑐 : coefficient global d’échange thermique du condenseur ;

𝐴_𝑐 : surface totale d’échange thermique du condenseur ;

𝑚_{𝑚𝑐} : masse totale de la partie métallique du condenseur ;

𝐶_𝑐 : chaleur spécifique équivalente de la partie métallique du condenseur ; ∆𝑇_𝑐 : variation de la température de la partie métallique du condenseur.

Dans notre modèle, nous considérons que le réfrigérateur utilise le condenseur élémentaire à air tel que conçu dans le chapitre III.

IV.2.1.3. La phase de Refroidissement

Le bilan d’énergie dans l'adsorbeur s’exprime par :

                                (IV.5)

Ici la masse d’eau adsorbée dans le réacteur reste inchangée et vaut  𝑚_𝑒 = 𝑚_{𝑚𝑖𝑛} 𝑚_𝑠.

IV.2.1.4. La phase d’Adsorption - Evaporation

Le bilan d’énergie, dans l'adsorbeur peut s’exprime par :

                (IV.6)

Le bilan d'énergie dans l’évaporateur s’exprime par :

𝐿_𝑒𝑚_{𝑣𝑒} − 𝑚_{𝑒𝑐𝑦𝑐𝑙é𝑒}𝐶_𝑒∆𝑇_{𝑒𝑣} = 𝑄_𝑓                 (IV.7)

avec : _{𝑣𝑒} : masse de l’eau évaporée ;

𝑚_{𝑣𝑒} = ∆𝑚_𝑒(𝑇)                                                                                               (IV.8)

𝑚_{𝑒𝑐𝑦𝑐𝑙é𝑒} : masse de l’eau cyclée du réfrigérateur

𝐶_𝑒 : chaleur spécifique de l’eau ;

∆𝑇_{𝑒𝑣} : variation de la température de l’évaporateur ;

𝐿_𝑒 : chaleur latente d’évaporation de l’eau ;

𝑄_𝑓 : quantité de froid produite par le réfrigérateur.

A la fin de ce paragraphe, il est important de noter que dans le modèle du réfrigérateur l’éclairement G* devient nulle au-delà de l’heure du coucher de soleil et qu’après ouverture des volets d’aération (17Heures), le coefficient global d’échange thermique du capteur vers le bas h_b change d’expression et dévient égal à h_vent.

IV.2.1.5. Calcul de la pression dans le réfrigérateur

Nous savons déjà que l’évaporation (respectivement la condensation) se passe à la pression de saturation de la vapeur d’eau correspondant à la température d’évaporation (respectivement à la température de condensation). 

La corrélation de LILEY nous permet de calculer la pression de la vapeur d’eau saturante pour une température de saturation donnée [18] : 

                                                                                        (IV.9)

avec : _𝑠 : pression de saturation en bar  ; 𝑇 : température en degré Kelvin.

Pendant les phases de chauffage et refroidissement, la vapeur d’eau du système de réfrigération est considérée aussi comme saturante, par conséquent sa pression peut être aussi calculée par la corrélation de LILEY. La température de la vapeur est déduite de la corrélation (II.14), nous avons pour notre couple gel de silice-eau :

                                                                                (IV.10)

avec : _𝑒(𝑇) : masse de l’eau adsorbée dans le réacteur à la température T,

𝑚_𝑠 : masse du gel de silice,

 : température du réacteur,

𝑇_{𝑠𝑎𝑡} : température de la vapeur d’eau du système.

IV.2.1.6. Conditions initiales

À l’instant initial, nous prenons pour hypothèse une répartition uniforme de la température dans tout le réacteur égale à la température ambiante au lever de soleil. La pression est supposée égale à la pression d’évaporation correspond à la pression de saturation à la température d’évaporation. Par conséquent, la masse adsorbée initiale égale à m(T_a,P_e ). La température du réacteur est considérée ainsi égale à la température ambiante au lever de soleil: T=T_a.

            

IV.2.1.7. Coefficient de performance solaire (COP_s)

Le coefficient de performance solaire COP_s d’une machine frigorifique solaire est défini comme étant le rapport entre la quantité de froid produite au niveau de l’évaporateur et l’énergie solaire totale incidente pendant une journée complète *10+ :

                                                                                                 (IV.11)

Q_f  est la quantité totale de froid produite au niveau de l’évaporateur, donnée par la relation (II.22), G est la quantité d’énergie totale incidente pendant la journée complète, donnée par

:  

                                                                                                    (IV.12)

rappelons que : G*(t) : le rayonnement solaire global journalier à l’instant t ; T_s1 : temps solaire au lever du soleil ;

T_s2 : temps solaire au coucher du soleil.

IV.2.2. Paramètres de simulation

Nous avons préféré utiliser dans nos simulations les données expérimentales du rayonnement solaire moyen et des températures ambiantes pour nous rapprocher d’avantage à de la réalité. Cependant le manque des données récentes sur le rayonnement solaire dans la ville de Bujumbura nous a poussés à simuler notre réfrigérateur sur base des données de l’année 2014. En effet, l’Institut Géographique du Burundi qui nous a fourni les données climatiques de Bujumbura ne dispose pas encore des données numériques sur l’ensoleillement pour l’année 2015 et 2016. Il nous a été certifié par leur base de données que ces données ne sont pas encore disponibles. 

Nous choisissions la journée moyenne du moi considéré pour les calculs. Concernant le concept de la journée moyenne, Liu et Jordan ont proposé de prendre le 16^ème jour de chaque mois, mais S. A. Klein a montré qu’il était préférable de choisir ce jour à l’aide du tableau IV.1. [10]

Tableau IV.1 : Choix du jour du mois représentant le « jour moyen » de ce mois [10]

Mois	Numéro du jour dans le mois	Numéro du jour dans l’année
Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre	17 16 16 15 15 11 17 16 15 15 14 10	17 47 75 105 135 162 198 228 258 288 318 344

Les données climatiques utilisées sont regroupées dans le tableau IV.2 ci-dessous pour l’année 2014, lieu: Bujumbura.

Tableau IV.2 : Données environnementales de la ville de Bujumbura, l’an 2014, source IGEBU

Mois	Tamin	Tamax	G
Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre	18,5 17,8 17,9 18,6 16,7 17,2 16,0 17,4 - 16,5 16,5 18	32,5 32,4 32,4 32,4 32,5 32,0 31,0 33,2 - 32,6 31,5                                                  33,0	4,44 3,48 5,65 6,58 6,9 5,83 5,88 5,79 -                        -                        -                        -

Le complément des données nécessaires pour le modèle avec les conditions initiales de fonctionnement du cycle, sont récapitulées dans le tableau IV.3.

Tableau IV.3 : Valeurs des paramètres et conditions de fonctionnement utilisées dans le modèle

Nom	Symbole	Valeur	unité
Température d’évaporation  Chaleur spécifique de l’adsorbant  Chaleur spécifique de la paroi de l’adsorbeur  Densité de la paroi de l’adsorbeur  Transmitivité de la vitre  Coefficient d’absorption de la paroi d’adsorbeur  Surface utile du capteur Emissivité de la paroi de l’adsorbeur Emissivité de la vitre  Vitesse du vent  Masse de l’adsorbant  Nombre de vitres	Te Cs Ca ρa τv αp A εp εv Vvent ms Nv	0 700 460 7800 0,95 0,94 1 0,9 0,88 1 10 1	°C J/kg K J/kg K Kg/m3 m2 m2 kg

Pour T_c, nous le prenons égale à T_amax.

Avant d’apprécier le comportement de notre réfrigérateur pour différents mois, nus avons d’abord évalué son comportement pour la valeur moyenne du rayonnement solaire de 5,5kWh/m²/jour et pour j=75. Les valeurs qui ont été utilisées pour son optimisation.

            

IV.2.3. Résultats et discussions 

Ce paragraphe est consacré à la présentation des résultats de simulation obtenus par notre modèle. Nous avons d’abord évalué le fonctionnement du réfrigérateur avec les données moyennes de températures et d’ensoleillement (données utilisées pour son optimisation, cfr chapitre III), après nous nous sommes rapproché des conditions réelles en utilisant les données expérimentales pour chaque mois considéré : Janvier, Mars, Mais et Juillet (année 2014). Les programmes des calculs et simulations dont les détails figurent en annexe E.3 ont été élaborés en Matlab.

IV.2.3.1. Variation du rayonnent solaire globale

Nous présentons à la figure IV.1, la distribution du flux solaire au long d’une journée. Selon le mois, les courbes n’ont pas le même axe de symétrie compte tenue de la différence de l’heure du lever de soleil de chaque mois. La puissance instantanée directement liée à la valeur moyenne mensuelle du rayonnement solaire globale et au temps. Le tableau IV.4 présente synthétiquement les valeurs numériques des résultats trouvés. 

Tableau IV.4 : Valeurs de G* [W] pour quelques valeurs du temps légal TL et du numéro du jour  j (année 2014)

TL [Heure]	5,8	6,8	7,8	8,8	9,8	10,8	11,8	12,8	13,8	14,8	15,8	16,8	17,8
G* j=17	0,0	100,1	231,9	369,8	493,2	581,8	620,4	602,1	530,3	417,4	282,3	146,1	27,2
G* j=75	0,0	146,5	320,6	499,1	654,6	760,8	799,1	762,7	658,1	503,6	325,3	150,8	3,3
G* j=135	0,0	88,0	293,7	519,4	731,4	894,3	979,8	972,2	873,0	700,1	483,6	258,9	59,0
G* j=198	0,0	98,4	278,7	472,2	649,2	779,9	841,2	822,0	725,7	569,7	381,0	190,3	24,8

Figure IV.1 : Variation de G* en fonction de TL pour différentes valeurs de j (année 2014) IV.2.3.2. Variation de la température du réacteur avec le temps

Les figures IV.2 et IV.3 illustrent l’évolution de la température du réacteur pour une journée donnée de fonctionnement. Le tableau IV.5 contient les valeurs numériques de nos résultats de calcul pour quelques valeurs du temps légal. Nous pouvons remarquer que la température maximale du réacteur est fortement liée au rayonnement solaire, la température minimale quant à elle dépend de la température ambiante minimale. La phase adsorption se termine quand le réacteur atteint sa température minimale, la phase désorption elle se termine quand le réacteur atteint sa température maximale.

On peut remarquer que la température de génération est atteinte aux environs de 14Heures, après le capteur commence son refroidissement. Le rayonnement utile à notre frigo est donc celle d’avant cette heure-là vu qu’au-delà de cette heure, les pertes thermiques deviennent supérieures au rayonnement qui devient par conséquent inutile. Pratiquement, il est donc avantageux d’orienter le capteur de manière à maximiser le rayonnement solaire d’avant 15Heures pour améliorer ses performances. 

Pour améliorer le captage dans l’avant-midi sur un capteur plan, V. Zaitsen, J. Vyumvuhore et C. Nibaruta, proposent d’orienté le capteur vers l’Est avec un angle d’orge de 15° pour le cas de la ville de Bujumbura. Aussi les mêmes auteurs montrent que cette solution est plus avantageuse vu que la ville de Bujumbura connait plus de pluie dans les après-midi que dans les avant midi. [4]

Tableau IV.5 : Valeurs de T réacteur [K] pour quelques valeurs du temps légal TL et du numéro du jour  j (année 2014)

TL [Heure]	5,8	6,8	7,8	8,8	9,8	10,8	11,8	12,8	13,8	14,8	15,8	16,8	17,8
T moy	295,3	301,1	315,1	329,3	339,7	351,1	361,7	369,9	374,1	371,5	359,2	342,0	325,8
T j=17	294,7	298,9	309,7	325,4	333,9	343,0	351,7	358,7	362,8	362,5	354,1	340,7	320,7
T j=75	294,2	300,4	315,0	330,0	341,0	353,0	364,3	372,9	377,3	374,9	362,3	344,7	326,5
T j=135	293,3	296,5	310,0	328,4	341,3	356,2	371,2	383,8	391,5	392,0	379,4	359,2	337,5
T j=198	292,4	296,1	309,0	325,6	337,0	349,9	362,4	372,7	378,7	378,4	366,8	348,7	328,6
TL [Heure]	18,8	19,8	20,8	21,8	22,8	23,8	0,8	1,8	2,8	3,8	4,8	5,3	5,8
T moy	316,1	309,5	304,7	301,3	298,8	296,9	295,5	294,5	293,9	293,7	294,3	294,7	295,3
T j=17	313,5	308,1	304,0	300,8	298,2	296,1	294,5	293,3	292,6	292,3	293,3	293,9	294,7
T j=75	317,0	310,2	305,2	301,3	298,3	296,0	294,2	292,9	292,1	291,8	292,7	293,4	294,2
T j=135	323,8	314,4	307,7	302,5	298,7	295,7	293,5	292,0	291,1	290,7	291,7	292,4	293,3
T j=198	317,7	310,1	304,5	300,2	296,9	294,4	292,4	291,0	290,2	289,9	290,9	291,6	292,4

Figure IV.2 : Variation de la température du réacteur en fonction de TL (valeurs moyennes)

Figure IV.3 : Variation de la température du réacteur en fonction de TL pour différentes

valeurs de j (année 2014)             

IV.2.3.3. Variation de la pression du système avec le temps

Ici nous présentons les résultats trouvés sur l’évolution du niveau de pression dans le réfrigérateur. Les valeurs numériques sont reprises dans le tableau IV.6 pour quelques valeurs du temps légal avant d’être représentées graphiquement sur les figures IV.4 et IV.5. Nous trouvons sur ces figures deux paliers qui correspondent respectivement à la pression de condensation et à la  pression d’évaporation, ici nous avons émis l’hypothèse que la condensation et l’évaporation se font à une température constante. Nous constatons aussi vers la fin de la nuit juste avant le lever du soleil une augmentation de pression due à l’augmentation de la température ambiante, à ce temps, toute l’eau du cycle étant évaporée, la température du réacteur augmentant avec la température ambiante, la pression du réfrigérateur augmente aussi.

Tableau IV.6 : Valeurs de P système pour quelques valeurs du temps légal TL et du numéro du jour  j (année 2014)

TL [Heure]	5,8	6,8	7,8	8,8	9,8	11,8	12,8	13,8	14,8	15,8	16,8	17,8
P moy	707,3	1033,6	2396,9	4214,8	4214,8	4214,8	4214,8	4214,8	3674,4	2000,7	795,4	609,2
P j=17	751,0	989,2	1921,1	4670,5	4867,8	4867,8	4867,8	4867,8	4646,8	3067,5	1516,2	609,2
P j=75	757,0	1128,9	2715,1	4840,1	4840,1	4840,1	4840,1	4840,1	4244,0	2309,3	910,1	609,2
P j=135	772,3	951,1	2188,2	4867,8	4867,8	4867,8	4867,8	4867,8	4642,6	2600,2	941,0	609,2
P j=198	763,6	971,2	2153,9	4466,1	4466,1	4466,1	4466,1	4466,1	4205,1	2410,6	938,2	609,2
TL [Heure]	18,8	19,8	20,8	21,8	23.8	0.8	1,8	2,8	3,8	4,8	5,3	5.8
P moy	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	662,6	683,3	707,2
P j=17	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	685,5	715,7	751,0
P j=75	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	688,6	720,1	756,9
P j=135	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	696,5	731,4	772,3
P j=198	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	609,2	692,1	725,0	763,6

            

Figure IV.4 : Variation de la pression dans système en fonction de TL (valeurs moyennes)

Figure IV.5 : Variation de la pression du système en fonction de TL pour différentes valeurs

de j (année 2014)       

IV.2.3.4. Variation de la masse adsorbée et masse désorbée avec le temps

La variation de la masse adsorbée et celle désorbée, est représentée sur les figures IV.6, IV.7 et IV.8. Le tableau IV.7 donne les valeurs numériques de ces masses pour certaines valeurs du temps dans la journée. Les figures présentent des paliers pour les phases de chauffage et de refroidissement où les valeurs des masses adsorbée et désorbée restent constantes. Nous pouvons aussi remarquer sans surprise que ces masses dépendent du niveau de la température du capteur, indirectement de la puissance du rayonnement solaire. Nous atteignons pour la masse adsorbée (respectivement pour la masse désorbée) des valeurs plus petites (respectivement plus grandes) en fin de désorption selon que le rayonnement solaire est grand.

Tableau IV.7 : Valeurs de m_t et Δm  *kg/kg d'adsorbant] pour quelques valeurs du temps légal TL et du numéro du jour  j (année 2014)

TL [Heure]	5,8	6,8	7,8	8,8	9,8	10,8	11,8	12,8	13,8	14,8	16,8	17,8
mt moy	0,318	0,318	0,318	0,310	0,287	0,259	0,232	0,211	0,200	0,199	0,199	0,229
Δm moy	0,000	0,000	0,000	0,007	0,030	0,058	0,086	0,107	0,118	0,119	0,119	0,088
mt j=17	0,321	0,321	0,321	0,321	0,306	0,286	0,264	0,247	0,236	0,234	0,234	0,244
mt j=75	0,322	0,322	0,322	0,314	0,290	0,261	0,233	0,211	0,199	0,198	0,198	0,227
mt j=135	0,325	0,325	0,325	0,318	0,290	0,254	0,216	0,185	0,166	0,162	0,162	0,196
mt j=198	0,326	0,326	0,326	0,320	0,296	0,265	0,233	0,207	0,192	0,189	0,189	0,221
Δm j=17	0,000	0,000	0,000	0,000	0,015	0,035	0,057	0,074	0,085	0,087	0,087	0,077
Δm j=75	0,000	0,000	0,000	0,008	0,032	0,061	0,089	0,111	0,123	0,124	0,124	0,095
Δm j=135	0,000	0,000	0,000	0,007	0,034	0,071	0,108	0,140	0,158	0,163	0,163	0,128
Δm j=198	0,000	0,000	0,000	0,006	0,030	0,061	0,093	0,119	0,134	0,137	0,137	0,105
TL [Heure]	18,8	19,8	20,8	21,8	22,8	23,8	0,8	1,8	2,8	3,8	4,8	5,8
mt moy	0,257	0,276	0,289	0,298	0,304	0,309	0,312	0,314	0,316	0,316	0,318	0,318
Δm moy	0,060	0,042	0,029	0,020	0,014	0,009	0,006	0,004	0,002	0,001	0,000	0,000
mt j=17	0,265	0,280	0,291	0,299	0,305	0,310	0,314	0,317	0,319	0,319	0,321	0,321
mt j=75	0,255	0,274	0,288	0,298	0,305	0,311	0,315	0,318	0,320	0,320	0,322	0,322
mt j=135	0,235	0,262	0,281	0,294	0,304	0,311	0,316	0,320	0,322	0,323	0,325	0,325
mt j=198	0,253	0,274	0,289	0,300	0,309	0,314	0,319	0,322	0,323	0,324	0,326	0,326
Δm j=17	0,056	0,041	0,030	0,022	0,015	0,011	0,007	0,004	0,002	0,002	0,000	0,000
Δm j=75	0,067	0,048	0,035	0,025	0,017	0,011	0,007	0,004	0,003	0,002	0,000	0,000
Δm j=135	0,089	0,063	0,044	0,030	0,020	0,013	0,008	0,005	0,003	0,002	0,000	0,000
Δm j=198	0,073	0,052	0,037	0,026	0,017	0,012	0,007	0,004	0,003	0,002	0,000	0,000

         

Figure IV.6 : Variation de la masse adsorbée et celle désorbée en fonction de TL (valeurs

moyennes)

Figure IV.7 : Variation de la masse adsorbée en fonction de TL pour différentes valeurs de j

(année 2014)

Figure IV.8 : Variation de la masse cyclée en fonction de TL pour différentes valeurs de j

(année 2014)           

IV.2.3.5. Variation de la chaleur fournie au capteur avec le temps